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<!DOCTYPE html>

<title>Pendel</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Pendel</span></h1>

</header>

</div>

<p>Ein <b>Pendel</b>, auch <b>Schwerependel</b> (früher auch <b>Perpendikel</b>,<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> von <a href="Latein" title="Latein">lat.</a> <i>pendere</i> „hängen“) ist ein Körper, der, an einer Achse oder einem Punkt außerhalb seines <a href="Massenmittelpunkt" title="Massenmittelpunkt">Massenmittelpunktes</a> <a href="Gelenk_(Technik)" title="Gelenk (Technik)">drehbar</a> <a href="Pendelaufh%C3%A4ngung" title="Pendelaufhängung">aufgehängt</a>, aufgrund der <a href="Schwerkraft" class="mw-redirect" title="Schwerkraft">Schwerkraft</a> um seine eigene Ruheposition schwingen kann. Seine einfachste Ausführung ist das <b>Fadenpendel</b>, das aus einem an einem Faden aufgehängten Gewicht besteht und baulich einem <a href="Schnurlot" class="mw-redirect" title="Schnurlot">Schnurlot</a> gleicht. In diesem Sinne keine Pendel sind das <a href="Federpendel" title="Federpendel">Federpendel</a> und das <a href="Torsionspendel" title="Torsionspendel">Torsionspendel</a>.

</p><p>Eine Eigenschaft des Schwerependels ist, dass seine <a href="Periode_(Physik)" title="Periode (Physik)">Schwingungsdauer</a> nur von der Länge des Fadens (genauer: dem Abstand zwischen Aufhängung und <a href="Massenmittelpunkt" title="Massenmittelpunkt">Schwerpunkt</a> des Pendelkörpers), nicht aber von der Art, Gestalt oder Masse des Pendelkörpers abhängt; auch fast nicht von der Größe der maximalen Auslenkung, vorausgesetzt, diese bleibt auf wenige <a href="Winkelgrad" class="mw-redirect" title="Winkelgrad">Winkelgrad</a> beschränkt. Dies wurde erstmals von <a href="Galileo_Galilei" title="Galileo Galilei">Galileo Galilei</a> festgestellt und nach den vertiefenden Untersuchungen durch <a href="Christiaan_Huygens" title="Christiaan Huygens">Christiaan Huygens</a> zur Regulierung der ersten <a href="Pendeluhr" title="Pendeluhr">genauen Uhren</a> verwendet. Ein <a href="Sekundenpendel" title="Sekundenpendel">Sekundenpendel</a> hat, je nach <a href="Geografische_Breite" class="mw-redirect" title="Geografische Breite">geografischer Breite</a> des Standorts, eine Länge zwischen 99,1 und 99,6 cm.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grundlagen">Grundlagen</h2></div>

<p>Das Pendel besteht meist aus einem Band oder einem Stab, der am freien Ende mit einer Masse beschwert ist. Bringt man ein solches Pendel aus seiner vertikalen <a href="Ruhelage" class="mw-redirect" title="Ruhelage">Ruhelage</a>, schwingt es unter dem Einfluss der <a href="Schwerkraft" class="mw-redirect" title="Schwerkraft">Schwerkraft</a> zurück und wird, solange keine <a href="D%C3%A4mpfung" title="Dämpfung">Dämpfung</a> erfolgt, <a href="Symmetrie_(Geometrie)" title="Symmetrie (Geometrie)">symmetrisch</a> zwischen den Scheitelpunkten als Umkehrpunkt der Bewegung um die tiefstmögliche Position des <a href="Massenmittelpunkt" title="Massenmittelpunkt">Massenmittelpunktes</a> – die Ruheposition – weiterschwingen. Beim Schwingen wird die <a href="Potentielle_Energie" title="Potentielle Energie">potentielle Energie</a> der Masse in <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetische Energie</a> und wieder zurückverwandelt. In der Ruheposition liegt die gesamte Energie der Schwingung als kinetische Energie vor, am Scheitelpunkt als potentielle Energie. Im zeitlichen Mittel ist die Energie gemäß dem <a href="Virialsatz" title="Virialsatz">Virialsatz</a> zu gleichen Teilen in kinetische und potentielle Energie aufgeteilt.

</p><p>Die Regelmäßigkeit der Schwingungsperiode eines Pendels wird bei mechanischen <a href="Pendeluhr" title="Pendeluhr">Pendeluhren</a> genutzt. Ihre Pendel müssen, sollen sie <a href="Uhrenfehler" title="Uhrenfehler">genau gehen</a>, möglichst kleine und konstante <a href="Amplitude" title="Amplitude">Amplituden</a> zurücklegen.

</p><p>Man unterscheidet mathematische Pendel von physikalischen Pendeln:

Das <i><a href="Mathematisches_Pendel" title="Mathematisches Pendel">ebene mathematische Pendel</a></i> und das <a href="Sph%C3%A4risches_Pendel" title="Sphärisches Pendel">sphärische Pendel</a> sind idealisierende <a href="Modell" title="Modell">Modelle</a> zur allgemeinen Beschreibung von Pendelschwingungen. Dabei wird angenommen, dass die gesamte Masse des Pendels in einem <a href="Massenpunkt" title="Massenpunkt">Punkt</a> vereinigt vorliegt, der einen festen Abstand vom Aufhängepunkt hat. Ein solches Pendel wird näherungsweise durch ein Fadenpendel realisiert. Das <i><a href="Physikalisches_Pendel" title="Physikalisches Pendel">physikalische Pendel</a></i> unterscheidet sich vom mathematischen Pendel, indem bei ihm die Form und Größe des Pendelkörpers berücksichtigt wird, weshalb das Verhalten physikalischer Pendel eher dem von realen Pendeln entspricht. So ist beispielsweise die <a href="Periode_(Physik)" title="Periode (Physik)">Periodendauer</a> eines <b>Stangenpendels</b>, bei dem ein Pendelkörper an einer Stange – dessen Länge mit einer Stellschraube verändert werden kann – mit endlicher Masse hängt, stets kürzer als die Periodendauer eines gleich langen mathematischen Pendels, bei dem die Masse der Aufhängung vernachlässigt werden kann.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Für kleine <a href="Auslenkung" title="Auslenkung">Auslenkungen</a> vereinfacht sich die Betrachtung der Bewegung des Pendels: Da hier die rückstellende <a href="Kraft" title="Kraft">Kraft</a> näherungsweise <a href="Proportionalit%C3%A4t" title="Proportionalität">proportional</a> zur Auslenkung ist, handelt es sich um einen <a href="Harmonischer_Oszillator" title="Harmonischer Oszillator">harmonischen Oszillator</a>.

</p><p>Mit dem <i><a href="Foucaultsches_Pendel" title="Foucaultsches Pendel">Foucaultschen Pendel</a></i> konnte die <a href="Erdrotation" title="Erdrotation">Erdrotation</a> nachgewiesen werden: Die <a href="Corioliskraft" title="Corioliskraft">Corioliskraft</a> wirkt von außen auf das Pendel, indem sie seine Schwingungsebene verändert und es von Schwingung zu Schwingung in einem wiederkehrenden Muster ablenkt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hintergrund">Hintergrund</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Theorie:_Harmonischer_Oszillator">Theorie: Harmonischer Oszillator</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Harmonischer_Oszillator" title="Harmonischer Oszillator">Harmonischer Oszillator</a></i></div>

<p>Das Pendel ist bei kleinen Auslenkungen eine gute Näherung eines mechanischen harmonischen Oszillators. Bei großer Auslenkung sind die Schwingungen zwar stetig, aber nicht mehr harmonisch. Der harmonische Oszillator ist ein bedeutendes Modellsystem in der Physik, da es ein geschlossen lösbares System darstellt. Es ist dadurch charakterisiert, dass eine Kraft proportional zur Auslenkung entgegen der Auslenkungsrichtung wirkt. Mit der Auslenkung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"></span>, der <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">zweiten Ableitung</a> nach der Zeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2fb139e031578a95112ed8e1fab2c437e448f98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:3.175ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}}" loading="lazy"></span> und der <a href="Kreisfrequenz#Kennkreisfrequenz_und_Eigenkreisfrequenz" title="Kreisfrequenz">Kennkreisfrequenz</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a713d16c489051d4f515e12b1f86061c6be799b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{0}}" loading="lazy"></span> gilt also:

</p>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega _{0}^{2}\varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4612807c96963778a47cc511de6507e5eae68c0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.63ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega _{0}^{2}\varphi }" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die Lösung dieser Gleichung ist periodischer Natur, die abhängig von den physikalischen <a href="Anfangsbedingung" title="Anfangsbedingung">Anfangsbedingungen</a> als Summe einer <a href="Sinus_und_Kosinus" title="Sinus und Kosinus">Sinus- und Kosinusfunktion</a> geschrieben werden kann:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (t)=A\sin(\omega _{0}t)+B\cos(\omega _{0}t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a647804782c4d4d586bdd72976eada723c6c3230.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.654ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (t)=A\sin(\omega _{0}t)+B\cos(\omega _{0}t)}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Wenn es auf die Phase nicht ankommt, kann man <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (0)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (0)=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3dd0eadcddc166a18e283a4c5ed3a51c1e923d3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.753ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (0)=0}" loading="lazy"></span> setzen und erhält

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{\mathrm {max} }\sin(\omega _{0}t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2368ddb5226a0b3438cca7ce5ed2db922776f1de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.47ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{\mathrm {max} }\sin(\omega _{0}t)}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6e2c2fcb7fdc28aaf4e47ffcf072a50117075c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.811ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}" loading="lazy"></span> die Auslenkung des Pendels am Umkehrpunkt ist.

</p><p>Die Bewegung, die ein harmonischer Oszillator beschreibt, heißt <a href="Schwingung#Harmonische_Schwingungen" title="Schwingung">harmonische Schwingung</a>. Nicht der strengen Definition des harmonischen Oszillators folgend, werden teilweise auch <a href="D%C3%A4mpfung" title="Dämpfung">gedämpfte</a> harmonische Oszillatoren als solche bezeichnet. Diese sind derart modelliert, dass die <a href="Amplitude" title="Amplitude">Amplitude</a>, die maximale Auslenkung, der Schwingung mit der Zeit kleiner wird.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mathematisches_und_physikalisches_Pendel">Mathematisches und physikalisches Pendel</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Mathematisches_Pendel" title="Mathematisches Pendel">Mathematisches Pendel</a> und <a href="Physikalisches_Pendel" title="Physikalisches Pendel">Physikalisches Pendel</a></i></div>

<p>Das mathematische Pendel ist das einfachste Modell eines Pendels: Ein <a href="Massenpunkt" title="Massenpunkt">Massenpunkt</a> ist an einem masselosen, starren Faden aufgehängt und kann sich entsprechend nur in zwei Dimensionen auf einer Kreisbahn um die Aufhängung bewegen. Sein einziger Freiheitsgrad ist die Auslenkung um eine <a href="Gleichgewichtslage" class="mw-redirect" title="Gleichgewichtslage">Gleichgewichtslage</a> oder Ruheposition und die <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> wirkt als rückstellende Kraft auf den Massenpunkt. Bei hinreichend kleiner Auslenkung kann das mathematische Pendel als harmonischer Oszillator beschrieben werden. Die Kreisfrequenz hängt dabei nur von der Fadenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy"></span> und der <a href="Erdbeschleunigung" class="mw-redirect" title="Erdbeschleunigung">Erdbeschleunigung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"></span> ab:

</p>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1dff6e3573721206ba9bbc1c23868ea9b51868ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:8.82ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die Verallgemeinerung des mathematischen Pendels in drei Dimensionen heißt <a href="Sph%C3%A4risches_Pendel" title="Sphärisches Pendel">sphärisches Pendel</a>. Dessen gekoppeltes Gleichungssystem besitzt keine einfache allgemeine Lösung mehr.

</p><p>Das physikalische Pendel berücksichtigt im Gegensatz zum mathematischen Pendel die Ausdehnung des Pendelkörpers und die Masse des Fadens. Die Kreisfrequenz des physikalischen Pendels hängt entsprechend auch von seiner Masse <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"></span> und seinem <a href="Tr%C3%A4gheitsmoment" title="Trägheitsmoment">Trägheitsmoment</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"></span> ab, während <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy"></span> als Abstand des <a href="Massenmittelpunkt" title="Massenmittelpunkt">Schwerpunkts</a> von der Aufhängung präzisiert werden muss:

</p>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {mgl}{I}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce1fde5de5f9dc5c3394f8b438e728f709905ae4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:11.554ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {mgl}{I}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"></span> ist das Trägheitsmoment bei Rotation um den Aufhängepunkt.

Die Formel gilt ebenfalls nur bei kleiner Auslenkung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anisochronismus">Anisochronismus</h3></div>

<p>Die Kreisfrequenz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"></span> bzw. die Schwingungsdauer <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T={\tfrac {2\pi }{\omega }}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\tfrac {2\pi }{\omega }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3347c968f01d12ca038afea15a5b42c530ba477a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.335ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle T={\tfrac {2\pi }{\omega }}}" loading="lazy"></span> ist nur näherungsweise von der maximalen Pendelauslenkung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6e2c2fcb7fdc28aaf4e47ffcf072a50117075c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.811ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}" loading="lazy"></span> unabhängig, denn das rückstellende <a href="Drehmoment" title="Drehmoment">Moment</a>, das die Schwerkraft auf das Pendel ausübt, ist nicht proportional zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"></span>, sondern zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5476adfa219ffe9cc3186d8226214b0f4734dce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.763ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sin \varphi }" loading="lazy"></span>. Darum tritt <a href="Mathematisches_Pendel#Exakte_Lösung" title="Mathematisches Pendel">Anisochronismus</a> auf: eine Pendeluhr geht umso langsamer, je größer der Pendelausschlag <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6e2c2fcb7fdc28aaf4e47ffcf072a50117075c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.811ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}" loading="lazy"></span> wird. Für nicht zu große <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6e2c2fcb7fdc28aaf4e47ffcf072a50117075c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.811ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}" loading="lazy"></span> kann die Periodendauer abhängig vom Pendelausschlag zu

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(\varphi _{\mathrm {max} })\approx T_{0}\left(1+{\frac {1}{16}}\varphi _{\mathrm {max} }^{2}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/07d91cf48d4576a55a266c90ee95718032f3c7fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.55ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle T(\varphi _{\mathrm {max} })\approx T_{0}\left(1+{\frac {1}{16}}\varphi _{\mathrm {max} }^{2}\right)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>berechnet werden, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6e2c2fcb7fdc28aaf4e47ffcf072a50117075c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.811ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}" loading="lazy"></span> im <a href="Radiant_(Einheit)" title="Radiant (Einheit)">Bogenmaß</a> einzusetzen ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gekoppelte_Pendel">Gekoppelte Pendel</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Gekoppelte_Pendel" title="Gekoppelte Pendel">Gekoppelte Pendel</a> und <a href="Doppelpendel" title="Doppelpendel">Doppelpendel</a></i></div>

<p>Bei zwei gekoppelten Pendeln üben zwei Pendel eine von beiden Auslenkungen abhängige Kraft aufeinander aus. Zum Beispiel verbindet man zwei gleiche Fadenpendel durch eine Feder miteinander, um im Demonstrationsexperiment die <a href="Eigenschwingung" class="mw-redirect" title="Eigenschwingung">Eigenschwingungen</a> und das Phänomen der <a href="Schwebung" title="Schwebung">Schwebung</a> zu beobachten. Gebundene Atome (z. B. in einem <a href="Molek%C3%BCl" title="Molekül">Molekül</a> oder in einem Festkörper) können oft näherungsweise durch ein Modell von vielen gekoppelten Pendeln beschrieben werden. Mehr als zwei gekoppelte Pendel können komplexe Schwingungsmuster zeigen, wenn die Grundschwingung von anders geformten Eigenschwingungen (oder Schwingungs<a href="Moden" class="mw-redirect" title="Moden">moden</a>) mit höheren <a href="Eigenfrequenz" class="mw-redirect" title="Eigenfrequenz">Eigenfrequenzen</a> überlagert wird.

</p><p>Beim <a href="Doppelpendel" title="Doppelpendel">Doppelpendel</a> wird an der Masse eines Pendels ein zweites Pendel angebracht. Es dient unter anderem der Demonstration von <a href="Chaosforschung" title="Chaosforschung">chaotischen</a> Prozessen, da die Bewegung chaotisch sein kann.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Federpendel">Federpendel</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Federpendel" title="Federpendel">Federpendel</a></i></div>

<p>Federpendel sind keine Pendel im eigentlichen Sinne, denn sie verfügen im Unterschied zum Schwerkraftpendel über eigene Rückstellkräfte, die von der Schwerkraft unabhängig sind.

</p><p>Es gibt u. a. folgende Varianten:

</p>

<ul><li>Der lineare Federschwinger (auch Federpendel) nutzt die Rückstellkraft einer gespannten Schraubenfeder. Bei horizontalen Federschwingern schwingt eine Masse waagerecht zwischen zwei gespannten Federn.</li>

<li>Drehschwinger führen eine Kreisbewegung aus und besitzen ein <a href="Torsionstr%C3%A4gheitsmoment" class="mw-redirect" title="Torsionsträgheitsmoment">Torsionsträgheitsmoment</a>:

<ul><li>Das <a href="Torsionspendel" title="Torsionspendel">Torsionspendel</a> (Drehpendel) schwingt an einem sich verdrehenden, d. h. unter <a href="Torsion_(Mechanik)" title="Torsion (Mechanik)">Torsionsmoment</a> stehenden Draht oder Band.</li>

<li>Drehschwinger mit Spiralfeder (z. B. <a href="Unruh_(Uhr)" title="Unruh (Uhr)">Unruh</a>) nutzen die rückstellende Kraft einer <a href="Spiralfeder" class="mw-redirect" title="Spiralfeder">Spiralfeder</a>.</li></ul></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

<ul><li>Mithilfe des <a href="Foucaultsches_Pendel" title="Foucaultsches Pendel">Foucaultschen Pendels</a> kann die <a href="Erdrotation" title="Erdrotation">Erdrotation</a> sichtbar gemacht werden.</li>

<li>Nur etwa 1,5 cm kurze Pendel dienen in Automatikgurten von Autos dem Detektieren von starker Horizontalbeschleunigung binnen kurzem Weg und Auslösen der Arretierung (neben zwei Fliehkraft-Klinken an der Spule).</li>

<li><a href="Klettern" title="Klettern">Kletterer</a> an einem Sicherungsseil hängend können sich durch wiederholtes Abstoßen zum Pendeln bringen, um seitlich versetzt eine Position zum Weiterklettern zu erreichen. Andererseits birgt ein Sturz in ein nach oben schräg verlaufendes Seil die Gefahr des Auspendelns und Anschlagens am Fels.</li>

<li>Sensoren, die ein Rücken oder Kippen eines Gegenstandes detektieren, etwa um Diebstahl anzuzeigen, enthalten im einfachsten Fall ein Pendel mit einem elektrischen Schleifkontakt in Neutralposition.</li>

<li>Schlagpendel dienen der Bestimmung der <a href="Kerbschlagz%C3%A4higkeit" title="Kerbschlagzähigkeit">Kerbschlagzähigkeit</a> und anderer Festigkeitsgrößen von Materialien oder Werkstücken.</li>

<li>Die <a href="Abrissbirne" title="Abrissbirne">Abrissbirne</a> soll insbesondere senkrechte Mauern und Beton durch waagrechten Stoß demolieren. Es gibt auch Rammböcke, die an 2 Pendelarmen hängen, deren obenliegende Griffe von 4 Personen geführt werden.</li>

<li>Eine an einem Tau pendelnd zur Schiffsbordwand schwingende Flasche soll bei einer <a href="Schiffstaufe" title="Schiffstaufe">Schiffstaufe</a> zerschellen.</li>

<li>Eine <a href="Schaukel" title="Schaukel">Schaukel</a> ist ein an zwei Seilen oder Ketten aufgehängtes Sitzbrett (oder eine Stange) für Vergnügungs- oder Artistikzwecke.</li>

<li>Die <a href="Schiffsschaukel" class="mw-redirect" title="Schiffsschaukel">Schiffsschaukel</a> im Vergnügungspark, ein starres Pendel mit Gondel, wird von den darin stehenden Personen mit Körperkraft und -schwung aufgeschaukelt.</li>

<li>Die Künstlerin <a href="Carolee_Schneemann" title="Carolee Schneemann">Carolee Schneemann</a> „zeichnet kinetisch“ an einem Seil hängend.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li>

<li>Tänzer an Sicherungsseilen mit selbst einhändig bedienbaren Abseilgeräten können an einer etwa vertikalen Wand durch Laufen und Abstoßen seitliches Pendeln auslösen, sich schrittweise ablassen und damit ein weithin sichtbares Ballett vollführen.</li>

<li>Pendeln spielt eine Rolle bei der Akrobatik am <a href="Trapez_(Sport)" title="Trapez (Sport)">Trapez</a> und <a href="Vertikaltuch" class="mw-redirect" title="Vertikaltuch">Vertikaltuch</a> sowie beim <a href="Turnen" title="Turnen">Turnen</a> an <a href="Ringeturnen" title="Ringeturnen">Ringen</a> und am <a href="Kletterseil" title="Kletterseil">Kletterseil</a>.</li>

<li>Das <a href="Balancieren" title="Balancieren">Balancieren</a> eines Stabs oder einer Leiter ist das Führen eines starren umgekehrten Pendels alleine durch Unterstützen an einem Punkt.</li>

<li>Das <a href="Riefler-Pendel" title="Riefler-Pendel">Riefler-Pendel</a> steigerte die Ganggenauigkeit von <a href="Pendeluhr" title="Pendeluhr">Pendeluhren</a> auf besser als eine <a href="Zehntelsekunde" title="Zehntelsekunde">Zehntelsekunde</a> pro Tag.</li>

<li>Die <a href="Pendelfigur" title="Pendelfigur">Pendelfigur</a> ist ein Spielzeug.</li>

<li>In der <a href="Esoterik" title="Esoterik">Esoterik</a> ist das <a href="Siderisches_Pendel" title="Siderisches Pendel">siderische Pendel</a> zu finden.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Horizontalpendel" title="Horizontalpendel">Horizontalpendel</a></li>

<li><a href="Kugelsto%C3%9Fpendel" title="Kugelstoßpendel">Kugelstoßpendel</a></li>

<li><a href="Hesssches_Pendel" title="Hesssches Pendel">Hesssches Pendel</a></li>

<li><a href="Inverses_Pendel" title="Inverses Pendel">Inverses Pendel</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Christian_Kassung" title="Christian Kassung">Christian Kassung</a>: <i>Das Pendel. Eine Wissensgeschichte.</i> 2007, ISBN 978-3-7705-4554-4.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Pendulums?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Pendulums</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Pendel" class="extiw external" title="wikt:Pendel">Wiktionary: Pendel</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li>Klassifizierung und Auflistung von <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.techniklexikon.net/d/pendel/pendel.htm">über 20 verschiedenen Pendeltypen</a> mit Formeln und Abbildungen.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Fritz von Osterhausen: <i>Callweys Uhrenlexikon.</i> Callwey, München 1999, ISBN 3-7667-1353-1.</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Johannes Crueger: <i>Schule der Physik.</i> Erfurt 1870, S. 97, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=J7gAAAAAMAAJ&pg=PA97&dq=Stangenpendel&hl=de&sa=X&ei=iiqkVKPKOYTcywP3qoKwCw&ved=0CCAQ6AEwAA#v=onepage&q=Stangenpendel&f=false">online.</a></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://salzburg.orf.at/news/stories/2750451/">Körper in Kunst verwandelt: Carolee Schneemann.</a></i> Bei: <i>ORF.at.</i> 2. Jänner 2016, abgerufen am 2. Jänner 2016.</span>

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4173651-5">4173651-5</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>